Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của BE và CD.

a) Chứng minh rằng IB = IC, ID = IE.

b) Chứng minh rằng BC // DE.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, M, I thẳng hàng.

Answer 1

Hình vẽ:

~~~~

a/ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\BD=CE\end{matrix}\right.\) (gt)

=> AB + BD = AC + CE

hay AD = AE => tg ADE cân tại A

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)

Xét tg BDE và tg CED có:

BD = CE

\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\left(cmt\right)\)

DE: chung

=> tg BDE = tg CED (cgc)

=> \(\widehat{E_1}=\widehat{D_1}\) => tg IDE cân tại I

=> ID = IE (đpcm)

cmtt có: tg BCD = tg CBE (cgc)

=> \(\widehat{C_1}=\widehat{B_1}\) => tg IBC cân tại I

=> IB = IC (đpcm)

b/ vì tg ABC cân tại A (gt)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (1)

tg ADE cân tại A (đã cm)

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\)(2)

Từ (1), (2) => \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)

mà 2 góc này đồng vị => BC // DE (đpcm)

c/ Ta có: tg ABI = tg ACI (ccc)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) mà AI nằm giữa AB, AC

=> AI là tia p/g góc BAC (3)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM:chung\\AB=AC\left(gt\right)\\BM=MC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> tg ABM = tg ACM (ccc)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) mà AM nằm giữa AB, AC => AM là p/g của góc BAC (4)

Từ (3), (4) => AI trùng AM

hay A, M, I thẳng hàng (đpcm)

Answer 2

a) xét tam giác BDI và tam giác EIC có:

J1=J2 ( chung góc I)

BD=EC(gt)

=> tam giác BDI=tam giác EIC

=> IB=IC ; ID=IE( 2 cạnh tương ứng của 2 tam giác)