Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB và AC lấy hai điểm tương ứng D và E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh DE // BC

b) Chứng minh tam giác MBD = tam giác MCE

c) Chứng minh tam giác AMD = tam giác AME

Answer 1

a) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) (góc đáy)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{BAC}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{ABC}\) = 180^o - \(\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{ABC}\) = \(\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (1)

Do AD = AE nên \(\Delta\)ADE cân tại A

=> \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{AED}\)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) + \(\widehat{BAC}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{ADE}\) = 180^o - \(\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{ADE}\) = \(\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ADE}\).

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC \(\rightarrow\) đpcm

b) Ta có:

\(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) (câu a)

hay \(\widehat{DBM}\) = \(\widehat{ECM}\)

Ta lại có: AD + BD = AB

AE + CE = AC

mà AD = AE; AB = AC nên BD = CE.

Xét \(\Delta\)MBD và \(\Delta\)MCE có:

MB = MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{DBM}\) = \(\widehat{ECM}\) (chứng minh trên)

BD = CE (chứng minh trên)

=> \(\Delta\)MBD = \(\Delta\)MCE (c.g.c)

c) Xét \(\Delta\)AMB và \(\Delta\)AMC có:

AM chung

AB = AC (\(\Delta\)ABC cân tại A)

MB = MC (suy từ gt)

=> \(\Delta\)AMB = \(\Delta\)AMC (c.c.c)

=> \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

hay \(\widehat{DAM}\) = \(\widehat{EAM}\)

Xét \(\Delta\)AMD và \(\Delta\)AME có:

AD = AE (gt)

\(\widehat{DAM}\) = \(\widehat{EAM}\) (cm trên)

AM chung

=> \(\Delta\)AMD = \(\Delta\)AME (c.g.c)