Tự vẽ hình.
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A
\(\Rightarrow AB=AC\) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
Ta có: AN = BN = \(\frac{1}{2}\)AB
AM = CM = \(\frac{1}{2}AC\)
\(\Rightarrow AN=BN=AM=CM\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:
AB = AC
\(\widehat{A}\) chung
AM = AN (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BM=CN\) và \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
b) Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{IBC}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{ACN}+\widehat{ICB}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) ; \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) \(\Rightarrow\Delta IBC\) cân tai I c) Do \(\Delta IBC\) cân tại I \(\Rightarrow IB=IC\) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có: AB =AC AI chug IB =IC (c/m trên) \(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.c.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 góc t/ư) \(\Rightarrow AI\) là tia pg của \(\widehat{A}\) d) Gọi giao điểm của AI và BC là H. Lại có: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) hay \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có: AB = AC\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (c/m trên)
AH chug
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)
mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\frac{180^o}{2}=90^o\)
\(\Rightarrow AH\perp BC\) hay \(AI\perp BC\)
