Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D,E,P lần lượt là trung điểm of AB,AC,BC. Trên tia đối CE lấy điểm M sao cho CM=CE. Chứng minh

Tứ giác BDEP là h.Bình hành

Tứ giác CDPM là hbh

P là trọng tâm of tgiác BDM

Answer 1

Xét tam giác ABC ta có:

D là trung điểm AB(gt)

E là trung điểm AC(gt)

=> ED là đg trung bình của tam giác ABC

=> DE//BC và DE=1/2BC

Mà BP=1/2BC(P là trung điểm BC)

Nên DE=BP

Xét tứ giác BDEP ta có

DE//BP(DE//BC)

DE=BP(cmt)

=> BDEP là hbh

Xét tam giác ABC ta có

D là trung điểmAB(gt)

P là trung điểm BC(gt)

=> DP là đg trung bình tam giác ABC

=> DP//AC và DP=1/2AC

Mà EC=1/2AC(E là trung điểm AC)

EC=CM(gt)

Nên DP=CM

Xét tứ giác PDCM ta có

DP=CM(cmt)

DP//CM(DP//AC)

=> PDCM là hbh

Answer 2

Kéo dài DP cắt BM tại S

Xét tam giác ABM ta có

D là trung điểm AB

DS//AM(DP//AC)

S thuộc BM(vẽ)

=> S là trung điểm BM

Xét tam giác ABM ta có

S là trung điểm BM (cmt)

D là trung điểm AB (gt)

=> SD là đg trung bình tam giác ABM

=> SD = 1/2 AM

=> SD=1/2(AE+CE+CM)

=> SD=1/2(3CM)

=> CM=2/3SD

Xét tam giác BCM ta có

P là trung điểm BC(gt)

S là trung điểm BM (cmt)

=> PS là đg trung bình tam giác BCM

=> PS=1/2CM

Mà CM=2/3SD(cmt)

=> PS=1/3SD

Xét tam giác BDM ta có:

DS là đg trung tuyến ( S là trung điểm BM)

PS=1/3DS

P thuộc DS(gọi)

=> P là trọng tâm tam giác BDM