Cho tam giác ABC cân ở S ( góc A < 60°). Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác đầu ABD và tam giác ACE. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD
b) Tam giác OBC cân.
c) H và I lần lượt là hình chiếu của D và E trên đường thẳng BC. Chứng minh DH = EI
d) O cách đều AB và AC
a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=\widehat{BCE}\\\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\end{matrix}\right.\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\left(GT\right)\\\widehat{ACE}=\widehat{ABD}\left(=60^0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{BCE}=\widehat{CBD}\)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}BD=AB\left(GT\right)\\CE=AC\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)
Mà: AB = AC (GT)
=> BD = CE
Xét ΔBCE và ΔCBD ta có:
CE = BD (cmt)
\(\widehat{BCE}=\widehat{CBD}\left(cmt\right)\)
BC: cạnh chung
=> ΔBCE = ΔCBD (c - g - c)
=> BE = CD (2 cạnh tương ứng)
b/ Có: ΔBCE = ΔCBD (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{EBC}\) (2 góc tương ứng)
=> Tam giác OBC cân tại O
=> OB = OC
c/ Gọi G là giao điểm cả DH và BC
Gọi L là giao điểm của EI và BC
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{GBD}+\widehat{DBC}=180^0\\\widehat{ECL}+\widehat{DCB}=180^0\end{matrix}\right.\) (kề bù)
Mà góc DBC = góc DCB (cmt)
=> Góc GBD = Góc ECL
Xét 2 tam giác vuông ΔGBD và ΔLCE ta có
C.h: BD = CE (cmt)
Góc GBD = Góc ECL (cmt)
=> ΔGBD = ΔLCE (c.h - g.n)
=> DG = EL (2 cạnh tương ứng)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}DG=\frac{1}{2}DH\left(GT\right)\\EL=\frac{1}{2}EI\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)
=> DH = EI
d/ Xét ΔABO và ΔACO ta có:
AB = AC (cmt)
AO: canh chung
OB = OC (cmt)
=> ΔABO = ΔACO (c - c - c)
\(\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) (2 góc tương ứng)
=> OA là phân giác của góc BAC
Hay: O thuộc tia phaan giác của góc BAC
=> O cách đều 2 cạnh AB và AC
