Ta có hình vẽ:
a/ Ta có: BI là phân giác góc B
=> góc DBI = góc IBC
Mà DE // BC => góc DIB = góc IBC (slt)
=> góc DBI = góc DIB
=> tam giác DBI cân tại D
=> DB = DI
Ta có: CI là phân giác góc C
=> góc ECI = góc ICB
Mà DE // BC => góc EIC = góc ICB (slt)
=> góc ECI = góc EIC
=> tam giác EIC cân tại E
=> EI = EC
Ta có: DB = DI; EI = EC (chứng minh trên)
=> DI + IE = BD + CE
hay DE = BD + CE
-> Ta có đpcm.
b/ Tự nối A với I
Nếu AB = AC
=> tam giác ABC cân tại A => góc B = góc C
Mà DBI = IBC và ECI = ICB
=> IBC = ICB => tam giác IBC cân tại I
=> IB = IC
Xét tam giác AIB và tam giác AIC có:
DBI = ECI (cmt)
AI: chung
BI = CI (cmt)
=> tam giác AIB = tam giác AIC
=> góc BAI = góc CAI (1)
AI: chung (2)
BD = CE (chứng minh ở câu a)
mà AB = AC (gt) => AD = AE (3)
Từ (1),(2),(3) => tam giác ADI = tam giác AEI
=> DI = EI (2 cạnh tương ứng) (*)
Theo câu a đã chứng minh DI + IE = DE
=> D,I,E thẳng hàng (**)
Từ (*),(**) => I là trung điểm của đoạn thẳng DE
-> Ta có đpcm. ^^
