giải: a)
*) Có: AH _l_ BC (gt)
=> AH là đường cao của tam giác ABD
mặt khác: HB = HD => AH là trung tuyến của tam giác ABC
=> Tam giác ABC cân tại A (1)
Ta có: \(\widehat{B}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180 ^o-90^o-30^o=60^o\) (2)
Từ (1) và (2) => tam giác ABD đều (đpcm)
*) Tam giác ABD đều => BD = AD (3)
\(\Delta ACD\) có: \(\widehat{ADC}=180^o-\widehat{ADB}=180^o-60^o=30^o\)
=> \(\widehat{DAC}=180^o-\widehat{ADC}-\widehat{ACD}=180^o-120^o-30^o=30^o=\widehat{ACD}\)
=> tam giác ACD cân tại D => AD = CD (4)
Từ (3) và (4) => BD = CD => D là trung điểm của BC (đpcm)
b) Có: \(\widehat{HDE}=\widehat{ADC}=120^o\) (đối đỉnh)
tam giác ABD cân có AH là đường cao => AH cx là dd` p/g
=> góc HAD = 60o : 2 = 30o
Xét 2 tam giác vuông: \(\Delta HDA\) và \(\Delta EDC\) có:
DA = DC (đã cm)
\(\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) (đối đỉnh)
=> t/g HDA = t/g EDC (cạnh huyền- góc nhọn)
=> HD = ED => tam giác HDE cân tại D
=> \(\widehat{DHE}=\widehat{DEH}=\dfrac{180^o-\widehat{HDE}}{2}=\dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o\)
Có: \(\widehat{HAD}=\widehat{DEH}=30^o\) mà 2 góc này so le trong
=> HE // AC
lại có: AC _l_ AB => HE _l_ AB (đpcm)