Question

cho tam giác ABC , 3 đường cao AD , BE , CF . gọi M,N,I,K lần lượt là hình chiếu của D trên AB,AC,BE,CF. chứng minh rằng 4 điểm M,N,I,K thẳng hàng

Answer 1

Hình vẽ:

Answer 2

Nối E và F

Xét tam giác AID ta có:

MF//DI( cùng vuông góc AB)

=>\(\dfrac{AF}{AI}=\dfrac{AM}{AD}\)(Đlý talet)(1)

Xét tam giác AEN ta có

EM//DN( cùng vuông góc AC)

=> \(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AM}{AD}\) (Đlý talet)(2)

Từ (1) và(2) suy ra

\(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AF}{AI}\)

=>EF//IN

Xét tam giác BFC ta có

DI//CF( cùng vuông góc AB)

=>\(\dfrac{BI}{BF}=\dfrac{BD}{BC}\)(Thales)(3)

Xét tam giác BEC, tam giác BEC, tam giác BFC chứng minh tương tự(Tu chứng minh tương tự nhoa)

Ta được \(\dfrac{BK}{BE}=\dfrac{BD}{BC}\)(4)

\(\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\) (5)

\(\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{CD}{BC}\)(6)

Từ (3) và (4)=> \(\dfrac{BI}{BF}=\dfrac{BK}{BE}\)=> KI//EF

Từ (5) và (6)=>\(\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\)=> MN//EF

Ta có

IN//EF(cmt)

IK//EF(cmt)

MN//EF(cmt)

=> I,N,K,M thẳng hàng