Question

Cho số phức z thỏa mãn \(\left|z-3\right|=2\left|z\right|\). Giá trị lớn nhất của môđun \(\left|z-1+2i\right|=a+b\sqrt{2}\). Khi đó tổng \(a+b\) bằng bao nhiêu?

A. \(4\) B. \(4\sqrt{2}\) C.\(3\) D.\(\frac{4}{3}\)

Answer 1

từ đề bài suy ra \(\left|z+1\right|=2\) => z thuộc đường tròn => khoảng cách max

Answer 2

bạn có thể giải thích rõ hơn được không

Answer 3

Giải từ từ theo kiểu cơ bản và biện luận đầy đủ thì thế này:

Đặt \(z=x+yi\), từ đề bài ta có:

\(\sqrt{\left(x-3\right)^2+y^2}=2\sqrt{x^2+y^2}\Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2=4x^2+4y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2+6x+3y^2=9\Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2=4\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+y^2=4\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp \(z\) là đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;0\right)\) bán kính \(R=2\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì thuộc (C) và \(A\left(1;-2\right)\) thì \(AM=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2}=\left|z-1+2i\right|\)

Bài toán trở thành tìm điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách AM là lớn nhất với A là điểm cố định và nằm ngoài đường tròn

Đường thẳng IA kéo dài cắt đường tròn lần lượt tại B và C (B nằm giữa A và C)

Với điểm M bất kì trên (C), áp dụng BĐT tam giác cho tam giác AMI ta có \(AM\le AI+IM=AI+IC=AC\) (do \(IM=IC=R\))

\(\Rightarrow AM_{max}=AC\) khi M trùng C

\(\Rightarrow AM_{max}=AI+IC=AI+R=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=4\)