Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Van Den Nong

Cho số nguyên tố p >3 biết rằng có số tự nhiên n / trong cách viết thập phân của số p^n ( p mũ n ấy ) có đúng 20 chứ số . Cmr trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau

Akai Haruma
5 tháng 3 2018 lúc 17:36

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử không tồn tại 3 chữ số nào trong $p^n$ giống nhau.

Đặt \(p^n=\overline{a_1a_2...a_{20}}\)

Vì \(0\leq a_1,a_2,...,a_{20}\leq 9\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[ \frac{20}{10}\right]=2\) số giống nhau.

Kết hợp với điều đã giả sử suy ra $p^n$ là một số gồm $20$ chữ số, trong đó luôn có đôi một hai số bằng nhau và bằng các số trải từ $0$ đến $9$

Khi đó: \(S(p^n)=2(0+1+2+..+9)=90\vdots 3\) trong đó \(S(p^n)\) là tổng các chữ số của $p^n$

Vì \(S(p^n)\vdots 3\Rightarrow p^n\vdots 3\). Điều này hoàn toàn vô lý do \(p>3, p\in\mathbb{P}\)

Do đó giả sử sai. Tức là tồn tại ít nhất 3 số trong 20 chữ số của $p^n$ giống nhau.


Các câu hỏi tương tự
Hà Vy
Xem chi tiết
Hà Vy
Xem chi tiết
bách hoàng
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
Hi Ngo
Xem chi tiết
Hi Ngo
Xem chi tiết
Trung Nguyen
Xem chi tiết
Ann Nhiiên
Xem chi tiết
Đinh Tuấn Việt
Xem chi tiết