Question

cho pt \(x^2-5x-1=0\). biết pt có 2 ngh x1, x2. Lập pt bậc hai ẩn y( với các hệ số là số nguyên)có 2 ngh lần lượt là

\(y_1=1+\dfrac{1}{x_1}\) và \(y_2=1+\dfrac{1}{x_2}\)

Answer 1

Lời giải:

Xét pt đầu tiên. Theo định lý Viete ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=5\\ x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(y_1+y_2=1+\frac{1}{x_1}+1+\frac{1}{x_2}=2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)

\(=2+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2+\frac{5}{-1}=-3\)

Và:

\(y_1y_2=\left(1+\frac{1}{x_1}\right)\left(1+\frac{1}{x_2}\right)=\frac{(x_1+1)(x_2+1)}{x_1x_2}\)

\(=\frac{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}{x_1x_2}=\frac{-1+5+1}{-1}=-5\)

Vậy $y_1+y_2=-3; y_1y_2=-5$

Theo định lý Viete đảo, thì $y_1,y_2$ là nghiệm của PT:

\(y^2+3y-5=0\)