Question

Cho pt x² - 2(m-1)x - 4m -3=0(1)

a) Chứng minh pt (1) luôn có hai nghiêm phân biệt vs mọi giá trị của m

b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của pt(1)

Tìm m để (x1^2 - 2mx1 - 4m)(x2^2 - 2mx2 - 4m)<0

Answer 1

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+4m+3=m^2+2m+4=\left(m+1\right)^2+3>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-4m-3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác do \(x_1;x_2\) là nghiệm nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2\left(m-1\right)x_1-4m-3=0\\x_2^2-2\left(m-1\right)x_2-4m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2mx_1-4m=-2x_1+3\\x_2^2-2mx_2-4m=-2x_2+3\end{matrix}\right.\)

Thay vào bài toán:

\(\Leftrightarrow\left(-2x_1+3\right)\left(-2x_2+3\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow4x_1x_2-6\left(x_1+x_2\right)+9< 0\)

\(\Leftrightarrow-16m-12-12m+12< 0\)

\(\Leftrightarrow-28m< 0\Rightarrow m>0\)