Question

Cho phương trình : \(x^2-mx-m^2-4=0\) (1) với m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho \(\left|x_1-x_2\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất .

giúp nha mình gần thi r

Answer 1

Lời giải:

Để pt có hai nghiệm pb thì:

\(\Delta=(-m)^2-4(-m^2-4)>0\)

\(\Leftrightarrow 5m^2+16>0\) (luôn đúng với mọi $m\in\mathbb{R}$)

Do đó với mọi $m$ thì pt luôn có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=-(m^2+4)\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2}\)

\(=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{m^2-4(-m^2-4)}\)

\(=\sqrt{5m^2+16}\)

Ta thấy \(m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow |x_1-x_2|=\sqrt{5m^2+16}\geq \sqrt{16}=4\)

Tức là $|x_1-x_2|$ đạt min bằng $4$

Dấu bằng xảy ra khi $m^2=0$ hay $m=0$

Vậy \(m=0\)