Question

Cho phương trình : \(x^2-\left(m-1\right)x-m^2+m-2=0\)

a ) Chứng mình rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu
b ) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(x_1^2+x_2^2\) , trong đó \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình
c ) Tìm m để \(x_1=2x_2\)

Answer 1

\(a=1>0;c=-m^2+m-2=-\left(m+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{4}< 0\)

\(\Rightarrow ac< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(A=\left(m-1\right)^2-2\left(-m^2+m-2\right)\)

\(A=3m^2-4m+5=3\left(m-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{11}{3}\ge\frac{11}{3}\)

\(A_{min}=\frac{11}{3}\) khi \(m=\frac{2}{3}\)

Kết hợp Viet và điều kiện đề bài ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=m-1\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\frac{m-1}{3}\\x_1=\frac{2\left(m-1\right)}{3}\end{matrix}\right.\)

Mặt khác cũng theo Viet:

\(x_1x_2=-m^2+m-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(m-1\right)^2}{9}=-m^2+m-2\)

\(\Leftrightarrow11m^2-13m+20=0\)

Pt vô nghiệm \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn