để pt có nghiệm thì
\(\Delta'=m^2-m+2\ge0\text{ (luôn đúng)}\)
theo vi-ét ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
mà
\(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\dfrac{-24}{4m^2-8m+16}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4}\)
\(\Rightarrow Mm^2-2Mm+4M=-6\)
\(\Leftrightarrow Mm^2-2Mm+4M+6=0\)
ta có \(\Delta'=M^2-4M^2-6M=-3M^2-6M\)
để pt có nghiệm thì
\(\Delta'=-3M^2-6M\ge0\Rightarrow-2\le M\le0\)
vậy MinM=-2 tại m=1(t/m)
\(\Delta\)' = \(m^2-m+2\) \(\ge0\forall m\)
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm
theo vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
ta có : M = \(\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}\) = \(\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)
= \(\dfrac{-24}{4m^2-8m+16}\) = \(\dfrac{-6}{m^2-2m+4}\) = \(\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)
ta có : \(-6< 0\) mà \(\left(m-1\right)^2+3\ge3\forall m\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) \(\left(m-1\right)^2+3\) nhỏ nhất
mà \(\left(m-1\right)^2+3\ge3\forall m\) vậy giá trị nhỏ là 3
khi \(\left(m-1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\) \(m-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(m=1\)
khi đó M = \(\dfrac{-6}{3}=-2\)
vậy giá trị nhỏ nhất của M = -2 khi m = 1
