Lời giải:
a)
* Nếu $m=1$. PT là pt bậc nhất \(-4x+1=0\) có nghiệm \(x=\frac{1}{4}\)
* Nếu \(m\neq 1\). PT là pt bậc 2:
\(\Delta'=(m+1)^2-m(m-1)=3m+1\)
\(+)m=\frac{-1}{3}\Rightarrow \Delta'=0\): PT có nghiệm duy nhất \(x=\frac{-1}{2}\)
+) \(m> \frac{-1}{3}\Rightarrow \Delta'>0\): PT có hai nghiệm phân biệt
+) \(m< \frac{-1}{3}\Rightarrow \Delta'< 0\): PT vô nghiệm.
b)
Theo phần a khi \(m> \frac{-1}{3}; m\neq 1\) thì pt có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m-1}\\ x_1x_2=\frac{m}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m-1}\\ 4x_1x_2=\frac{4m}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1+x_2-4x_1x_2=\frac{2(m+1)-4m}{m-1}=\frac{2-2m}{m-1}=-2\)
Đây chính là biểu thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$
--------------
Ta có:
\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{\frac{4(m+1)^2}{(m-1)^2}-\frac{4m}{m-1}}=2\sqrt{\frac{3m+1}{(m-1)^2}}\)
Để \(|x_1-x_2|\geq 2\Leftrightarrow 2\sqrt{\frac{3m+1}{(m-1)^2}}\geq 2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\frac{3m+1}{(m-1)^2}}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{3m+1}{(m-1)^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow 3m+1\geq (m-1)^2\) (\(\forall m\neq 1, m> \frac{-1}{3})\)
\(\Leftrightarrow m^2-5m\leq 0\Leftrightarrow 0\leq m\leq 5\)
Vậy để thỏa mãn đk trên thì \(\frac{-1}{3}< m\leq 5; m\neq 1\)
