Question

Cho phương trình \(\left(m+2\right)\sqrt{x\left(x^2+1\right)}-x^2+\left(m-6\right)x-1=0\) (1) . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thực ?

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

- Với \(x=0\) ko phải là nghiệm

- Với \(x\ne0\) phương trình tương đương:

\(-\frac{x^2+1}{x}+\frac{\left(m+2\right)\sqrt{x\left(x^2+1\right)}}{x}+m-6=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}-\left(m+2\right)\sqrt{\frac{x^2+1}{x}}-m+6=0\)

Đặt \(\frac{x^2+1}{x}=t\Rightarrow t\ge2\) pt trở thành:

\(t^2-\left(m+2\right)t-m+6=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2m+6=m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2-2t+6}{t+1}=m\)

Xét \(f\left(t\right)=\frac{t^2-2t+6}{t+1}\) với \(t\ge2\)

\(f\left(t\right)=t-3+\frac{9}{t+1}=t+1+\frac{9}{t+1}-4\ge2\sqrt{\frac{9\left(t+1\right)}{t+1}}-4=2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge2\Rightarrow m\ge2\)