Question

Cho phương trình bậc 2 ẩn x, tham số k: x² - 2(k-3)x + k² - 6k = 0

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂. Xác định giá trị nguyên của tham số k sao cho \(\dfrac{x^2_1+x^2_2}{2}\) là bình phương của 1 số nguyên

Answer 1

Ta có \(\Delta'=\left(k-3\right)^2-\left(k^2-6k\right)=9>0\)

Khi đó pt luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Áp dụng hệ thức Viet, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k-3\right)\\x_1.x_2=k^2-6k\end{matrix}\right.\)

Vậy thì \(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2}{2}=\dfrac{4\left(k-3\right)^2-2.\left(k^2-6k\right)}{2}\)

\(=\dfrac{2k^2-12k+36}{2}=k^2-6k+18=\left(k-3\right)^2+9\)

Vậy để \(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{2}\) là bình phương của một số nguyên thì k - 3 = 0 hay k = 3.