Cho phương trình: \(2x^2+2\left(m+1\right)x+m^2+4m+3=0\)
a) Tìm giá trị của m để phương trình nhận x = 1 là nghiệm. Với m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\)
d) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\)sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = \(\left|x_1x_2-2\left(x_1x_2\right)\right|\)
a/ Do \(x=1\) là một nghiệm \(\Rightarrow a+b+c=0\)
\(\Rightarrow2+2\left(m+1\right)+m^2+4m+3=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+6m+7=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3-\sqrt{2}\\m=-3+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1+x_2=\frac{-2\left(m+1\right)}{2}=-m-1\Rightarrow x_2=-m-1-x_1=-m-2\)
- Với \(m=-3-\sqrt{2}\Rightarrow x_2=1+\sqrt{2}\)
- Với \(m=-3+\sqrt{2}\Rightarrow x_2=1-\sqrt{2}\)
b/ Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu:
\(\Rightarrow ac=2\left(m^2+4m+3\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m+3< 0\)
\(\Rightarrow-3< m< -1\)
c/ Để phương trình có 2 nghiệm \(\Rightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)^2-4\left(m^2+4m+3\right)\ge0\)
\(\Rightarrow-3m^2-14m-11\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{-11}{3}\le m\le-1\) (1)
d/ Khi phương trình có 2 nghiệm, theo định lý Viet:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m-1\\x_1x_2=\frac{m^2+4m+3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\left|x_1x_2-2x_1x_2\right|=\left|-x_1x_2\right|=\left|x_1x_2\right|\)
\(A=\left|\frac{m^2+4m+3}{2}\right|\)
Xét \(f\left(m\right)=\left|\frac{m^2+4m+3}{2}\right|\) tại các giá trị đặc biệt: \(m=\left\{\frac{-11}{3};-2;-1\right\}\) có:
\(f\left(\frac{-11}{3}\right)=\left|\frac{\left(-\frac{11}{3}\right)^2+4\left(-\frac{11}{3}\right)+3}{2}\right|=\frac{8}{9}\)
\(f\left(-2\right)=\left|\frac{\left(-2\right)^2+4\left(-2\right)+3}{2}\right|=\frac{1}{2}\)
\(f\left(-1\right)=\left|\frac{1-4+3}{2}\right|=0\)
So sánh 3 giá trị ta được \(A_{max}=\frac{8}{9}\) khi \(m=-\frac{11}{3}\)
