Question

Cho \(p\ge5\) , p là số nguyên tố sao cho 2p+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p+1 chia hết cho 6 và \(2p^2+1\) không phải là số nguyên tố.

Answer 1

Lời giải:

Vì \(p\geq 5\Rightarrow p\not\vdots 3\) và \(p\) lẻ. Do đó \(p\) có thể có dạng \(6k+1; 6k+5\)

Nếu \(p=6k+1\Rightarrow 2p+1=2(6k+1)+1=3(4k+1)\) chia hêt cho $3$ và lớn hơn 3. Khi đó \(2p+1\not\in\mathbb{P}\) (trái với giả thiết)

Do đó \(p=6k+5\)

Kéo theo \(p+1=6k+6=6(k+1)\vdots 6\) (đpcm)

Hơn nữa:

\(2p^2+1=2(6k+5)^2+1=72k^2+120k+51=3(24k^2+40k+17)\vdots 3\)

và lớn hơn 3

Do đó \(2p^2+1\) không phải số nguyên tố.