Question

Cho parabol (P): y=ax² và đường thẳng (d) : y=bx+c với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông trong đó a là độ dài cạnh huyền. CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoàn độ là x₁ và x₂ thoae mãn\(x_1^2+x_2^2< 2\)

Answer 1

+ Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của pt:

\(ax^2=bx+c\Leftrightarrow ax^2-bx-c=0\) (1)

+ vì a là độ dài cạnh của 1 tg => a > 0 => pt (1) là pt bậc 2 ẩn x

\(\Delta=\left(-b\right)^2+4ac=b^2+4ac>0\forall a,b,c>0\)

=> pt (1) có 2 nghiệm pb \(x_1,x_2\) => (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B

+ Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{b}{a}\\x_1x_2=-\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(\frac{b}{a}\right)^2+\frac{2c}{a}\)

\(=\frac{b^2+2ac}{a^2}=\frac{a^2-c^2+2ac}{a^2}=2-\left(\frac{a-c}{a}\right)^2\)

+ a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tg vuông có a là cạnh huyền

=> \(a>c\Rightarrow x_1^2+x_2^2=2-\left(\frac{a-c}{a}\right)^2< 2\)

Answer 2

Pitago: \(a^2=b^2+c^2\Rightarrow b^2=a^2-c^2\)

Pt hoành độ giao điểm: \(ax^2-bx-c=0\)

\(-ac< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb trái dấu hai (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{b}{a}\\x_1x_2=-\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=x_1^2+x_2^2\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\frac{a^2-c^2}{a^2}+\frac{2c}{a}\)

\(A=\frac{a^2-c^2+2ac}{a^2}=\frac{2a^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)}{a^2}=2-\left(\frac{a-c}{a}\right)^2< 2\) (đpcm)