Question

cho p và 10p+1 nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh 17p+1 là hợp số

Answer 1

Ta có :

p có dạng 3k , 3k+1 , 3k+2

* Nếu p = 3k+1 => p+1 = 10 ( 3k + 1 ) + 1 = 30k+10+1= 30k+11 ( Thoả mãn )

*Nếu p = 3k+2 => p + 1 = 10( 3k + 2 ) + 1 = 30k+20+1 = 30k+21 ( lớn hơn 3 và chia hết cho 3 ) => p+1 là hợp số
=> Không có trường hợp p = 3k+2

Với p= 3k1 +1 => 17p+1 = 17 ( 3k+1 ) + 1 = 51k + 17 + 1 = 51k + 18 ( Lớn hơn 3 và chia hết cho 3 ) => 17p+1 là hợp số

Vậy 17p+1 là hợp số ( đpcm )

Answer 2

p là số nguyên tố, p>3 => p không chia hết cho 3, lại có (10;3)=1 => 10p không chia hết cho 3 (1)

10p+1 là số nguyên tố, 10p+1>3 => 10p+1 không chia hết cho 3 (2)

Ta có: 10p(10p+1)(10p+2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => 10p(10p+1)(10p+2) chia hết cho 3 (3)

Từ (1),(2),(3) => 10p+2 chia hết cho 3 <=> 2(5p+1) chia hết cho 3

Mà (2;3)=1 Nên 5p+1 chia hết cho 3 (*)

p là số nguyên tố, p>3 => p lẻ => 5p lẻ => 5p+1 chẵn => 5p+1 chia hết cho 2 (**)

Ta có: (2;3)=1 (***)

Từ (*),(**),(***) => 5p+1 chia hết cho 6.