Question

cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 cmr:(p+23)(p+25 )chia hết 24

Answer 1

Lời giải:

Ta sẽ đi chứng minh \(A=(p+23)(p+25)\vdots 3\) và $8$

Thật vậy.

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ có dạng \(3k+1\) hoặc \(p=3k+2\)

\(\bullet p=3k+1\Rightarrow p+23=3k+24=3(k+8)\vdots 3\)

\(\Rightarrow A=(p+23)(p+25)\vdots 3\)

\(\bullet p=3k+2\Rightarrow p+25=3k+27=3(k+9)\vdots 3\)

Từ 2 TH trên suy ra \(A\vdots 3(*)\)

Mặt khác, vì $p$ là snt lớn hớn $3$ nên $p$ lẻ. Do đó $p$ có dạng $4t+1$ hoặc $4t+3$

\(\bullet p=4t+1\Rightarrow A=(4t+24)(4t+26)=8(t+6)(2t+13)\vdots 8\)

\(\bullet p=4t+3\Rightarrow A=(4t+26)(4t+28)=8(2t+13)(t+7)\vdots 8\)

Từ 2 TH trên suy ra \(A\vdots 8(**)\)

Từ \((*); (**)\) mà $(3,8)$ nguyên tố cùng nhau nên $A\vdots (3.8)$ hay $A\vdots 24$

Answer 2

Lời giải:

Ta sẽ đi chứng minh và

Thật vậy.

Vì là số nguyên tố lớn hơn nên không chia hết cho . Do đó có dạng hoặc

Từ 2 TH trên suy ra

Mặt khác, vì là snt lớn hớn nên lẻ. Do đó có dạng hoặc