Lời giải:
a)
\(\widehat{EAD}=\widehat{BAC}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Như vậy, xét tứ giác $AEHD$ có 3 góc vuông:
\(\widehat{EAD}=\widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^0\) nên $AEHD$ là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{AHD}\)
Mà \(\widehat{AHD}=\widehat{DCB}\) (\(=90^0-\widehat{DHC}\) )
\(\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{DCB}\)
\(\Leftrightarrow 180^0-\widehat{DEB}=\widehat{DCB}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{DCB}+\widehat{DEB}=180^0\)\(\Rightarrow CDEB\) là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng $180^0$)
b)
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(\triangle AHB\) vuông tại $H$, đường cao $HE$:
\(BE.BA=BH^2(1)\)
\(\triangle AHC\) vuông tại $H$, đường cao $HD$:
\(AC.EH=AC.AD=AH^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AB.EB+AC.EH=BH^2+AH^2=AB^2\) (theo định lý Pitago)
Ta có đpcm.
c)
Vì $AEHD$ là hình chữ nhật (cmt) nên: \(S_{AEHD}=AE.EH\)
\(\Rightarrow S_{AEHD}^2=AE^2.EH^2\)
Theo BĐT Cauchy:
\(AE^2.EH^2\leq \left(\frac{AE^2+EH^2}{2}\right)^2=\left(\frac{AH^2}{2}\right)^2\le \left(\frac{AO^2}{2}\right)^2=\left(\frac{R^2}{2}\right)^2\)
Do đó:
\(S_{AEHD}^2\leq \left(\frac{R^2}{2}\right)^2\Rightarrow S_{AEHD}\leq \frac{R^2}{2}\)
Vậy \(S_{AEHD}(max)=\frac{R^2}{2}\)
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} AE=EH\\ AH=AO\end{matrix}\right.\) hay $A$ là điểm chính giữa cung $BC$
Khi $A$ là điểm chính giữa cung $BC$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$. Mà $\widehat{BAC}=90^0$ nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân.
