Question

Cho N=\(\dfrac{x^2-\sqrt{2}}{x^4+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x^2-\sqrt{6}}\). Rút gọn rồi tìm GTLN của N.

Answer 1

Lời giải:

\(N=\frac{x^2-\sqrt{2}}{x^4+(\sqrt{3}-\sqrt{2})x^2-\sqrt{6}}=\frac{x^2-\sqrt{2}}{(x^4-\sqrt{2}x^2)+(\sqrt{2}x^2-\sqrt{6})}=\frac{x^2-\sqrt{2}}{x^2(x^2-\sqrt{2})+\sqrt{3}(x^2-\sqrt{2})}\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{2}}{(x^2-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{3})}=\frac{1}{x^2+\sqrt{3}}\)

Ta thấy $x^2\geq 0, \forall x\Rightarrow x^2+\sqrt{3}\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow N=\frac{1}{x^2+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy GTLN của $N$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi $x=0$

Answer 2

Lời giải:

\(N=\frac{x^2-\sqrt{2}}{x^4+(\sqrt{3}-\sqrt{2})x^2-\sqrt{6}}=\frac{x^2-\sqrt{2}}{(x^4-\sqrt{2}x^2)+(\sqrt{2}x^2-\sqrt{6})}=\frac{x^2-\sqrt{2}}{x^2(x^2-\sqrt{2})+\sqrt{3}(x^2-\sqrt{2})}\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{2}}{(x^2-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{3})}=\frac{1}{x^2+\sqrt{3}}\)

Ta thấy $x^2\geq 0, \forall x\Rightarrow x^2+\sqrt{3}\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow N=\frac{1}{x^2+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy GTLN của $N$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi $x=0$