Question

cho n thuộc N .CMR.6n+5 và 4n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Answer 1

Gọi \(d=ƯCLN\left(6n+5;4n+3\right)\left(d\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+10⋮d\\12n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N;1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(6n+5;4n+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrowđpcm\)

Answer 2

Gọi \(ƯCLN\left(6n+5,4n+3\right)=d\left(d\in N\right)\)

Do đó:\(\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+10⋮d\\12n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

Vì 9;10 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(1⋮d\)

=>d=1

=>6n+5 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau(đpcm)