Question

Cho ∆MNP có MN=MP Và tia phân giác góc M cắt NP ở H

a/CM:∆MNH=∆MPH

b/CM:MH vuông góc với NP

c) vẽ HD vuông MN (D thuộc MN) và HE vuông MP(E thuộc MP) CM:DE//NP

Answer 1

a) Xét ΔMNH và ΔMPH có

MN=MP(gt)

\(\widehat{NMH}=\widehat{PMH}\)(MH là tia phân giác của \(\widehat{NMP}\))

MH là cạnh chung

Do đó: ΔMNH=ΔMPH(c-g-c)

b) Ta có: ΔMNH=ΔMPH(cmt)

⇒\(\widehat{MHN}=\widehat{MHP}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{MHN}+\widehat{MHP}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MHN}=\widehat{MHP}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

⇒MH⊥NP(đpcm)

c) Xét ΔDMH vuông tại D và ΔEMH vuông tại E có

MH là cạnh chung

\(\widehat{DMH}=\widehat{EMH}\)(do MH là tia phân giác của \(\widehat{NMP}\), D∈MN, E∈MP)

Do đó: ΔDMH=ΔEMH(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒MD=ME

Xét ΔMDE có MD=ME(cmt)

nên ΔMDE cân tại M(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{MDE}=\frac{180^0-\widehat{M}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔMDE cân tại M)(1)

Ta có: ΔMNP cân tại M(gt)

⇒\(\widehat{MNP}=\frac{180^0-\widehat{M}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔMNP cân tại M)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MDE}=\widehat{MNP}\)

mà \(\widehat{MDE}\) và \(\widehat{MNP}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//NP(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Answer 2

a) Xét 2 \(\Delta\) \(MNH\) và \(MPH\) có:

\(MN=MP\left(gt\right)\)

\(\widehat{NMH}=\widehat{PMH}\) (vì \(MH\) là tia phân giác của \(\widehat{M}\))

Cạnh MH chung

=> \(\Delta MNH=\Delta MPH\left(c-g-c\right).\)

b) Theo câu a) ta có \(\Delta MNH=\Delta MPH.\)

=> \(\widehat{MHN}=\widehat{MHP}\) (2 góc tương ứng).

+ Ta có: \(\widehat{MHN}+\widehat{MHP}=180^0\) (vì 2 góc kề bù).

Mà \(\widehat{MHN}=\widehat{MHP}\left(cmt\right).\)

=> \(2.\widehat{MHN}=180^0\)

=> \(\widehat{MHN}=180^0:2\)

=> \(\widehat{MHN}=90^0.\)

=> \(\widehat{MHN}=\widehat{MHP}=90^0\)

=> \(MH\perp NP.\)

c) Ta có: \(\widehat{NMH}=\widehat{PMH}\) (vì \(MH\) là tia phân giác của \(\widehat{M}\)).

=> \(\widehat{DMH}=\widehat{EMH}.\)

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(MDH\) và \(MEH\) có:

\(\widehat{MDH}=\widehat{MEH}=90^0\left(gt\right)\)

Cạnh MH chung

\(\widehat{DMH}=\widehat{EMH}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta MDH=\Delta MEH\) (cạnh huyền - góc nhọn).

=> \(MD=ME\) (2 cạnh tương ứng).

=> \(\Delta MDE\) cân tại \(M.\)

=> \(\widehat{MDE}=\widehat{MED}\) (tính chất tam giác cân).

=> \(\widehat{MDE}=\widehat{MED}=\frac{180^0-\widehat{M}}{2}\) (1).

+ Xét \(\Delta MNP\) có:

\(MN=MP\left(gt\right)\)

=> \(\Delta MNP\) cân tại \(M.\)

=> \(\widehat{MNP}=\widehat{MPN}\) (tính chất tam giác cân).

=> \(\widehat{MNP}=\widehat{MPN}=\frac{180^0-\widehat{M}}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) => \(\widehat{MDE}=\widehat{MNP}.\)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị.

=> \(DE\) // \(NP\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!