Question

Cho iểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B ,C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB (D, E thuộc (O) ) . Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC,AB lần lượt tại P , Q a) Gọi H là giao điểm của BC với OA . Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E. Chứng minh A,P,K thẳng hàng. 2 . Cho a , b , c > 0 thỏa mãn a+b+c = 3 . Chứng minh rằng : \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

Answer 1

Bài 1 .

Answer 2

Bài 2 :

Áp dụng Cô si ta có :
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\le\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự ta cũng có :
\(\frac{b+1}{c^2+1}\le\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2};\frac{c+1}{a^2+1}\le\left(c+1\right)-\frac{ca+a}{2}\) Cộng vế theo vế ta được: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\) Mặt khác ta có BĐT : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\) Do đó : \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\) Dấu " = " xay ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)