Question

Cho hình thoi MNPQ có \(\widehat{N}=120^0\). Lấy hai điểm E và F theo thứ tự thuộc các cạnh MQ và PQ sao cho ME=QF. Chứng minh tam giác NEF là tam giác đều.

Answer 1

Xét hình thoi MNPQ có ^MNP = 120⁰

Dễ dàng suy ra ^NMQ = 60⁰ và ^MQP = 120⁰

Vì MNPQ là hình thoi nên QN là tia phân giác của ^MQP

=> ^NQP = ^NQM = 120⁰ / 2 = 60⁰

Xét tam giác NMQ có ^NMQ = ^NQM ( = 60⁰ )

Do đó tam giác NMQ đều => MN = NQ (*')

Xét tam giác NME và tam giác NQF có :

MN = NQ ( cmt )

^NMQ = ^NQP ( =60⁰ )

ME = QF ( gt )

=> tam giác NME = tam giác NQF ( c-g-c ) (*)

=> NE = NF

=> tam giác NEF cân tại N

Mặt khác từ (*) ta cũng suy ra được ^MNE = ^QNF (1)

Ta cũng có từ (*') => ^MNQ = 60⁰

Hay ^MNE + ^ENQ = 60⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^QNF + ^ENQ = 60⁰

Hay ^NEF = 60⁰

Xét tam giác NEF là tam giác cân có 1 góc bằng 60⁰

=> tam giác NEF là tam giác đều (đpcm)

Answer 2

Vì MNPQ là hình thoi, lại có N=120°(gt)nên M+N=180°=> M=60°

∆MNQ có MN=MQ và có M=60°nên ∆MNQ đều

=>MN=MQ=NQ

Mặt khác QN là tia phân giác MQP(MNPQ là hình thoi)

=>NQP=Q/2=N/2=120°/2=60°

Xét ∆MNE và ∆QNP có

MN=NQ(CMT)

M=NQP=60°

ME=QF(GT)

=>∆MNE=QNP(c.g.c)

=>NE=NF. (1)

Lại có:

ENF=ENQ+QNF=ENQ+ENM(QNF=ENM)=60° (2)

TỪ 1 và 2=>∆NEF đều