Question

Bài 1. Cho hình thoi ABCD . Trên hai cạnh BC , CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho

BM DN  . Gọi P Q ;	thứ tự là giao điểm của AM và AN với đường chéo BD . Chứng minh rằng:
1.1. BAM DAN  	1.2.Tứ giác APDQ là hình thoi.

Answer 1

1: Xét ΔABM và ΔADN có

AB=AD

\(\hat{ABM}=\hat{ADN}\) (ABCD là hình thoi)

BM=DN

Do đó: ΔABM=ΔADN

=>\(\hat{BAM}=\hat{DAN}\)

2: Sửa đề: Chứng minh tứ giác APCQ là hình thoi

Ta có: ABCD là hình thoi

=>AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAC}=\hat{DAC}\)

=>\(\hat{BAM}+\hat{CAM}=\hat{DAN}+\hat{CAN}\)

mà \(\hat{BAM}=\hat{DAN}\)

nên \(\hat{CAM}=\hat{CAN}\)

=>AC là phân giác của góc MAN

=>AC là phân giác của góc PAQ

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình thoi

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường và AC⊥BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABP và ΔADQ có

\(\hat{BAP}=\hat{DAQ}\)

AB=AD

\(\hat{ABP}=\hat{ADQ}\) (ΔABD cân tại A)

Do đó: ΔABP=ΔADQ

=>BP=DQ

Ta có: BP+PO=BO

QD+QO=OD

mà BP=QD và BO=OD

nên OP=OQ

=>O là trung điểm của PQ

Xét tứ giác APCQ có

O là trung điểm chung của AC và PQ

=>APCQ là hình bình hành

Hình bình hành APCQ có AC⊥PQ

nên APCQ là hình thoi