a/
•Xét ∆ANP và ∆BCP có:
góc APN = góc BPC (đối đỉnh)
góc NAP = CBP (so le trong AD//BC)
Nên ∆ANP đồng dạng với ∆BCP (g.g) (1)
•Xét ∆ANP và ∆DNC có:
góc N: góc chung
góc NAP = góc NDC (đồng vị do AB//CD hay AP//CD)
Nên ∆ANP đồng dạng với ∆DNC (g.g) (2)
*Từ (1) và (2) suy ra ∆PBC đồng dạng với ∆CDN (cùng đồng dạng với ∆PAN)
Do vậy \(\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{DN}{DC}\) (3)
Mà ABCD là hình thoi nên BC = CD → ∆BCD cân tại C
Mặt khác góc A = góc C (2 góc đối nhau trong hình thoi)
Thế nên ∆BCD là tam giác đều nên BC = CD = BD (4)
*Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{DN}{DC}\Leftrightarrow\dfrac{BD}{BP}=\dfrac{DN}{BD}\) (5)
\(\Leftrightarrow BD.BD=BP.DN\)
\(\) \(\) \(\Leftrightarrow BD^2=BP.DN\)
b/
Xét ∆DBN và ∆BPD có: \(\dfrac{BD}{BP}=\dfrac{DN}{BD}\) (từ 5)
góc PBD = góc NDB (=60o)
Nên ∆DBN đồng dạng với ∆BPD (c.g.c)
c/
Vì ∆DBN đồng dạng với ∆BPD nên góc DBN = góc BPD
Xét ∆BMD và ∆PBD có:
góc BMD = góc BPD (cmt)
góc MDB: góc chung
Nên ∆BMD đồng dạng với ∆PBD (g.g)
Do vậy góc BMD = góc PBD = 60o
d/
Xét ∆PAD và ∆PMD có: góc APD = góc MPB (đối đỉnh)
góc PAN = PMB (=60o)
Nên ∆PAD đồng dạng với ∆PMD (g.g)
Do vậy \(\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{PM}{PB}\Leftrightarrow PA.PB=PD.PM\)
