a: Xét ΔABD có AB=AD và \(\widehat{BAD}=60^0\)
nên ΔABD đều
=>\(BD=AB=8\left(cm\right)\)
ABCD là hình thoi
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{BAD}=180^0\)
=>\(\widehat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)
Xét ΔBAC có \(cosABC=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)
=>\(\dfrac{8^2+8^2-AC^2}{2\cdot8\cdot8}=cos120=-\dfrac{1}{2}\)
=>\(128-AC^2=-64\)
=>\(AC^2=128+64=192\)
=>\(AC=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)
b: ABCD là hình thoi
=>DB là phân giác của góc ADC
=>\(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}=60^0\)
ΔBED vuông tại E
=>\(\widehat{EBD}+\widehat{EDB}=90^0\)
=>\(\widehat{EBD}=90^0-60^0=30^0\)
ΔBFD vuông tại F
=>\(\widehat{FBD}+\widehat{FDB}=90^0\)
=>\(\widehat{FBD}=90^0-60^0=30^0\)
\(\widehat{EBF}=\widehat{EBD}+\widehat{FBD}=30^0+30^0=60^0\)
Xét ΔBED vuông tại E và ΔBFD vuông tại F có
BD chung
\(\widehat{EDB}=\widehat{FDB}\)
Do đó: ΔBED=ΔBFD
=>BE=BF
Xét ΔBEF có BE=BF và \(\widehat{EBF}=60^0\)
nên ΔBEF đều
c: ΔABD đều
mà BE là đường cao
nên \(BE=AD\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)
ΔBEF đều
=>\(BE=BF=EF=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)
