Question

Cho hình thang vuông ABCD (góc A=D=90) có AB =1/2CD . Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M la trung điểm HC . Chứng minh:

a, N là trực tâm tam giác ADM

b. BM vuông góc DM

Answer 1

Ta kẻ \(MK\perp AD\left(K\in AD\right)\) và \(MK\) cắt \(DH\) tại \(N.\)

a) Xét \(\Delta DHC\) có:

\(N\) là trung điểm của \(DH\left(gt\right)\)

\(M\) là trung điểm của \(HC\left(gt\right)\)

=> \(NM\) là đường trung bình của \(\Delta DHC.\)

=> \(NM\) // \(DC\) (định lí đường trung bình của tam giác).

=> \(NM=\frac{1}{2}DC\) (như trên)

=> \(NM=AB.\)

=> \(NM\) // \(AB.\)

=> Tứ giác \(ABMN\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

=> \(AN\) // \(BM\) (tính chất hình bình hành)

Vì \(NM\) // \(DC\left(cmt\right)\)

\(DC\perp AD\)

=> \(NM\perp AD.\)

Xét \(\Delta ADM\) có:

2 đường cao \(MN,DH\) giao nhau ở \(N\left(gt\right)\)

=> N là trực tâm của \(\Delta ADM\left(đpcm\right).\)

b) Ta có: \(N\) là trực tâm của \(\Delta ADM\left(cmt\right)\)

=> \(AN\perp DM.\)

Mà \(AN\) // \(BM\left(cmt\right)\)

=> \(BM\perp DM.\)

Chúc bạn học tốt!