Question

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M;N lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD và AC. CM:

a, Các tứ giác AMNB, DMNC là hình thang cân

b, \(BM^2=AM^2+AB.MN\)

Answer 1

a:

Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD và BC

Xét ΔDAB có E,M lần lượt là trung điểm của DA và DB

nên EM là đường trung bình

=>EM//AB(1)

Xét ΔADC có E,N lần lượt là trung điểm của AD và AC

nên EN là đường trung bình

=>EN//DC

hay EN//AB(2)

Xét hình thang ABCD có

E,F lần lượt la trung điểm của AD và BC

nên EF là đường trung bình

=>EF//AB//CD(3)

Từ (1), (2)và (3) suy ra E,M,N,F thẳng hàng

Gọi giao điểm của AN và BM là O

=>AC cắt BD tại O

Xét ΔBAC và ΔABD có

AB chung

AC=BD

BC=AD

Do đó: ΔBAC=ΔABD

Suy ra: góc OAB=góc OBA

=>ΔOAB cân tại O

Vì góc OAB=góc OBA

nên góc OMN=góc ONM

=>ΔOMN cân tại O

=>OM=ON

=>AN=BM

=>ABNM là hình thang cân

=>NM//DC

Vì góc OAB=góc OBA

nên góc OCD=góc ODC

=>OD=OC

Xét hình thang DMNC có góc MDC=góc NCD

nên DMNC là hình thang cân