Question

Cho hình thang ABCD ( với AB // CD , AB < CD ) . Gọi trung điểm của đường chéo BD là M . Qua M kẻ đường thẳng // với DC cắt AC tại N . Chứng minh

a, N là trung điểm AC

b, MN = \(\frac{CD-AB}{2}\)

Answer 1

a, Kéo dài BN cắt CD tại G.

Xét \(\Delta BDG:\)

M là trung điểm BD

MN // CD

\(\Rightarrow\)N là trung điểm BG hay N là trung điểm AC.

b,Xét \(\Delta ANB\) và \(\Delta CNG:\)

AN = NC (cmt )

\(\widehat{ANB}=\widehat{CNG}\)( đối đỉnh )

Vì AB // CD nên \(\widehat{BAN=\widehat{GCN}}\)

\(\Rightarrow\Delta ANB=\Delta CNG\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow AB=GC;BN=NG\)( 2 cặp cạnh tương ứng )

Xét \(\Delta BDG:\)

M là trung điểm BD

N là trung điểm BG

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta BDG\)

\(\Rightarrow MN//DG;MN=\frac{1}{2}DG\)

Ta lại có : \(MN=\frac{1}{2}DG\)

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}\left(DC-GC\right)\)

\(\Leftrightarrow MN=\frac{DC-AB}{2}\)( Vì AB = GC )