Chứng minh đẳng thức :

(\(\frac{1}{x^2+2x+1}\left(\frac{1}{x^2}+1\right)+\frac{2}{x^3+2x^2+x}\) ) : \(\frac{1}{4x^2-x^3}\) = 4 - x

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến ( M thuộc BC ) , D là điểm nằm giữa B và M . Qua D kẻ đường thẳng d song song với AM , đường thẳng d cắt hai đường thẳng AB , AC thứ tự tại E và F . Kẻ AK song song với BC ( K thuộc DF )

1. Chứng minh hai tam giác KAE và MBA đồng dạng với nhau

2. Chứng minh K là trung điểm của EF

3. Gọi N là trung điểm của AK , O là giao điểm của DN và AB . Xác định vị trí của điểm D trên đoạn thẳng BM để OD : ND = 2 : 5 ?

Cho biểu thức :

M = ( \(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\)) : ( \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x}+\frac{2}{x^2-1}\))

a, Rút gọn biểu thức M

b, Tìm x để M nguyên

Cho tam giác ABC có AB = AC = 5cm , đường cao AH = 3 cm , qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AH tại D

1. a, Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi

b, Tính diện tích hình thoi ABDC

2. Gọi N là hình chiếu của H trên AC . Chứng minh : AH . CH = AC . NH

3. H và N đối xứng nhau qua K . Chứng minh BN vuông góc với AK

Tìm x để : P = \(\frac{3-4x}{x^2+1}\) < 0

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa đoạn thẳng AB vẽ hai tia Ax ; By cùng vuông góc với AB và tia OZ sao cho góc AOz là góc nhọn ( O là trung điểm của AB ) . Gọi C là giao điểm của Ax với tia phân giác của góc AOz , kẻ CM vuông góc với Oz ( M thuộc Oz ) , tia Cm cắt By tại D, N là giao điểm của BC với AD

1. Chứng minh \(\frac{AN}{ND}\)= \(\frac{CN}{NB}\)

2. Gọi I là trung điểm của CD chứng minh OI = \(\frac{1}{2}\)CD

3. Chứng minh MN vuông góc với AB

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Phân giác của góc B cắt AH tại I , cắt AC tại D

1. Chứng minh rằng : a, Tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

b, IH . DC = IA . AD

2. Giả sử phân giác AG của góc BAC chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn có độ dài là 1 cm và 3 cm ( G thuộc BC ) . Tính tỉ số \(\frac{BH}{HC}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm ; AC = 4 cm . Lấy D đối xứng với B qua AC ; E đối xứng với C qua AB

1. Tứ giác BCDE là hình gì ? Vì sao ?

2. Gọi F là hình chiếu của E trên BC ; BM là tia phân giác của góc FBE ( M thuộc EF ) . Chứng minh tam giác FBM đồng dạng với tam giác ACB

3. Tính FM

Cho hình chữ nhật ABCD , E là một điểm trên cạnh AB ; DE cắt AC tại F và cắt CB tại G

a, Chứng minh : Tam giác AFE đồng dạng với tam giác CFD

b, Chứng minh : FD mũ 2 = FE . FG

c, Khi E là trung điểm của AB , xác định tỉ số diện tích tam giác AFE với diện tích hình chữ nhật ABCD