a) Xét ΔAOB và ΔCOD có
\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\)(hai góc so le trong, AB//DC)
Do đó: ΔAOB∼ΔCOD(g-g)
⇒\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(1)
Xét ΔADC có
I∈AD(gt)
O∈AC(gt)
IO//DC(gt)
Do đó: \(\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AO}{OC}\)(Định lí Ta lét)(2)
Xét ΔBDC có
O∈BD(gt)
K∈BC(gt)
OK//CD(gt)
Do đó: \(\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{BO}{OD}\)(Định lí Ta Lét)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{BK}{KC}\)
⇒\(\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{ID}{KC}\)
Ta có: I nằm giữa A và D(gt)
nên AI+ID=AD
Ta có: K nằm giữa B và C(gt)
nên KB+KC=BC
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AI+ID}{BK+KC}=\dfrac{AD}{BC}\)
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{AD}{BC}\\\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AD}{BC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{BK}{BC}\\\dfrac{ID}{AD}=\dfrac{KC}{BC}\end{matrix}\right.\)(đpcm)(6)
b) Xét ΔADC có
I∈AD(gt)
O∈AC(gt)
IO//DC(gt)
Do đó: \(\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{IO}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(4)
Xét ΔBDC có
O∈BD(gt)
K∈BC(gt)
OK//DC(gt)
Do đó: \(\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{OK}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(5)
Từ (4), (5) và (6) suy ra \(\dfrac{OI}{DC}=\dfrac{OK}{DC}\)
⇒OI=OK
mà I,O,K thẳng hàng(gt)
nên O là trung điểm của IK(đpcm)
