§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Lạc Truyền Kì

Cho hình tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE: F là giao điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: AF \(\perp\) BC và \(\overline{AFD}\) = \(\overline{ACE}\) .

b) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD \(\perp\) OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh MD2 = MK.MF và K là trực tâm của tam giác MBC.

d) Chứng minh: \(\frac{2}{FK}\) = \(\frac{1}{FH}\) + \(\frac{1}{FA}\) .

Nguyễn Ngọc Như Quỳnh
28 tháng 7 2016 lúc 20:23

a) Ta có góc BEC = góc BDC = 90o (góc nội tiếp chắn giữa đường tròn)

Suy ra BD \(\perp\) AC và CE \(\perp\) AB. Mà BD cắt CE tại H là trực tâm \(\Delta\) ABC.

Suy ra AH \(\perp\) BC

Vì AH \(\perp\) BC, BD \(\perp\) AC nên góc HFC = góc HDC = 90o.

Suy ra góc HFC + góc HDC = 180o

Suy ra HFCD là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\) góc HDC = góc HCD.

Nguyễn Ngọc Như Quỳnh
28 tháng 7 2016 lúc 20:38

b) Vì M là trung điểm cạnh huyền của hình tam giác vuông ADH nên MD = MA = MH. Tương tự ta có ME = MA = MH

Suy ra MD = ME

Mà OD = OE nên \(\Delta\) OEM = \(\Delta\) ODM \(\Rightarrow\) góc MOE = góc MOD = \(\frac{1}{2}\) góc EOD

Theo qua hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung, ta có góc ECD = \(\frac{1}{2}\) góc EOD

Theo ý a) ta có góc HFD = góc HCD = góc ECD

\(\Rightarrow\) góc MOD = góc HFD hay góc MOD = góc MFD

Suy ra tứ giác MFOD là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\) góc MDO = 180o - góc MPO = 90o \(\Rightarrow\) MD \(\perp\) DO

Chứng minh tương tự ta có MEFO là tứ giác nội tiếp

Suy ra 5 điểm M, E, F, O, D cùng thộc 1 đường tròn.

Nguyễn Ngọc Như Quỳnh
28 tháng 7 2016 lúc 21:00

c) Gọi I là giao điểm thứ hai của MC với đường tròn

Ta có góc MDE = góc DCE hay góc MDK = góc HCD

Mà góc HCD = góc HFD \(\Rightarrow\) góc MDK = góc HFD hay góc MDK = góc MFD

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MDK ~ \(\Delta\) MFD \(\Rightarrow\) \(\frac{MD}{MF}\) = \(\frac{MK}{MD}\) \(\Rightarrow\) MD= MK.MF

Ta có góc MDI = góc MCD

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MDI ~ \(\Delta\) MCD \(\Rightarrow\) \(\frac{MD}{MC}\) = \(\frac{MI}{MD}\) \(\Rightarrow\) MD= MI.MC

\(\Rightarrow\) MI.MC = MK.MF = MD\(\Rightarrow\) \(\frac{MI}{MF}\) = \(\frac{MK}{MC}\)

Xét \(\Delta\) MKI và \(\Delta\) MCF có \(\begin{cases}chungKMI\\\frac{MI}{MF}=\frac{MK}{MC}\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\Delta\) MKI ~ \(\Delta\) MCF

\(\Rightarrow\) góc MIK = góc MFC = 90o \(\Rightarrow\) KI \(\perp\) MC

Mà góc BIC = 90o nên BI \(\perp\) MC

Suy ra B, K, I thẳng hàng \(\Rightarrow\) BK \(\perp\) MC

Mà MK \(\perp\) BC nên K là trực tâm \(\Delta\) MBC.

Nguyễn Ngọc Như Quỳnh
28 tháng 7 2016 lúc 21:10

d) Vì MA = MH nên

FA.FH = (FM + MA)(FM - MH) = (FA + MA)(FM - MA) = FM2 - MA2

Vì MD2 = MK.MF nên FK.FM = (FM - MK).FM = FM2 - MK.MF = FM2 - MD2

Mà MD = MA \(\Rightarrow\) FA.FH = FK.FM

\(\Rightarrow\) \(\frac{2}{FK}\) = \(\frac{2FM}{FA.FH}\) = \(\frac{\left(FM+MA\right)+\left(FM-MH\right)}{FA.FH}\) = \(\frac{FA+FH}{FA.FH}\) = \(\frac{1}{FA}\) + \(\frac{1}{FH}\) .

Nguyễn Ngọc Như Quỳnh
28 tháng 7 2016 lúc 20:14

Cho mình hỏi bạn có hình vẽ chưa???????????


Các câu hỏi tương tự
L N T 39
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Dennis Jan
Xem chi tiết
Minh Phùng
Xem chi tiết
Trần Minh Hiển
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Không Có Tên
Xem chi tiết
Anhh Thưư
Xem chi tiết