Question

Cho hình chữ nhật ABCD ; AH vuông góc với BD tại H . Gọi I ; M lần lượt là trung điểm BH ; CD .Vẽ IK vuông góc AM tại K . CMR

a) \(IM ^2 + IA ^2 = BC ^2 + 1/4 CD^2\)

b) \(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IA^2}+\frac{1}{IM^2}\)

Answer 1

a) Vẽ MN, CP vuông góc với BD.

Cần chứng minh:

\(IM^2+IA^2=BC^2+\frac{CD^2}{4}=AD^2+DM^2=AM^2\)

ΔBAH = ΔDCP(g.c.g) ⇒ AH = CP

MN là đường trung bình của tam giác DCP ⇒ \(MN=\frac{CP}{2}=\frac{AH}{2}\)

Dễ chứng minh ΔBAH~ΔDMN(g.g) ⇒ \(DN=\frac{BH}{2}\)

Ta có:

\(IN=IH-HN=\frac{BH}{2}-\left(DN-DH\right)=\frac{BH}{2}-\frac{BH}{2}+DH=DH\)

Do đó: \(IM^2+IA^2=AH^2+IH^2+IN^2+MN^2\)

\(=AH^2+\frac{BH^2}{4}+DH^2+\frac{AH^2}{4}=BC^2+\frac{CD^2}{4}\)\(=AM^2\) (đpcm)

(Áp dụng định lý Pytago đảo)

b) Từ phần a suy ra tam giác AIM vuông tại I

Do đó dễ chứng minh \(\frac{IK^2}{IA^2}+\frac{IK^2}{IM^2}=\frac{IM^2}{AM^2}+\frac{IA^2}{IM^2}=\frac{IM^2}{IM^2}=1\)

Suy ra đpcm