Question

Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM=CP; BN=DQ.

Chứng minh:

a, MNPQ là hình bình hành

b, AC, BD, MP, NQ đồng quy

Answer 1

a: Xét ΔAMQ và ΔCPN có 

AM=CP

\(\widehat{A}=\widehat{C}\)

AQ=CN

Do đó: ΔAMQ=ΔCPN

Suy ra: QM=NP

Xét ΔMBN va ΔPDQ có 

MB=PD

\(\widehat{B}=\widehat{D}\)

BN=DQ

Do đó: ΔMBN=ΔPDQ

Suy ra: MN=PQ
Xéttứ giác MQPN có

MN=PQ

MQ=PN

Do đó: MQPN là hình bình hành

b: Ta có: ABCD là hình bình hành

nên Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: MQPN là hình bình hành

nên Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(2)

Xét tứ giác AMCP có

AM//CP

AM=CP

Do đó: AMCP là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1), (2)và (3) suy ra AC,BD,MP,NQ đồng quy