Question

Cho hình binh hành ABCD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB và CD. M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) CMR: Tứ giác EMFN là hình bình hành b) CMR: AC, EF, MN đồng quy c) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AF và CE với BD. CMR: BK-KI=ID

Answer 1

a: Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)

\(DF=FC=\dfrac{DC}{2}\)

mà AB=DC(ABCD là hình bình hành)

nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

=>AF//CE

=>FM//EN

Xét tứ giác BEDF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: BEDF là hình bình hành

=>BF//DE

=>FN//EM

Xét tứ giác EMFN có

EM//FN

EN//FM

Do đó: EMFN là hình bình hành

b: Ta có: EMFN là hình bình hành

=>EF cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,EF,MN đồng quy

c: AECF là hình bình hành

=>AF//CE

Xét ΔDKC có

F là trung điểm của DC

FI//KC

Do đó: I là trung điểm của DK

=>DI=IK(1)

Xét ΔBAI có

E là trung điểm của BA

EK//AI

Do đó: K là trung điểm của BI

=>BK=KI(2)

Từ (1),(2) suy ra DI=IK=BK

 

Answer 2

câu a) này

+) Ta có:

AE = 1/2 AB; CF = 1/2. CD ( vì E và F lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Và AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: AE = CF

+) Lại có: AB // CD ( vì ABCD là hình bình hành) nên AE //CF

Tứ giác AECF có hai cạnh đối AE, CF song song và bằng nhau nên là hình bình hành

⇒ AF //CE hay EN // FM (1)

Xét tứ giác BFDE ta có:

AB // CD (gt) hay BE // DF

BE = 1/2 AB (gt)

DF = 1/2 CD (gt)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: BE = DF

Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ BF//DE hay EM // FN (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành)