Question

Cho hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)x+y=4\\ax+y=2a\end{matrix}\right.\)

Chứng minh rằng với mọi a hpt luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y\(\ge\)2

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}ax+x+y=4\\ax+y=2a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ax+y+x=4\\ax+y=2a\end{matrix}\right.\)

Thế pt dưới vào pt trên ta có:

\(2a+x=4\Rightarrow x=4-2a\)

Thế vào pt dưới: \(y=2a-ax=2a-a\left(4-2a\right)=2a^2-2a\)

\(\Rightarrow\) Hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất

Lại có \(x+y=4-2a+2a^2-2a=2a^2-4a+4\)

\(=2a^2-4a+2+2=2\left(a-1\right)^2+2\ge2\) \(\forall a\) (đpcm)