\(y'=6x^2-6\left(m+1\right)x+18m\)
\(\Delta=36\left(m^2-10m+1\right)\)
TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R do đó \(\min\limits f\left(x\right)_{x\in\left[-1;2\right]}=f\left(-1\right)=-21m+3=24\Leftrightarrow m=-1\)(loại)
TH2: \(\Delta>0\), gọi \(x_1,x_2\) là hai điểm cực trị của hàm số
Nếu \(\left(x_0,y_0\right)\) là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì \(y_0=\left(-m^2+10m-1\right)x_0+3m^2+3m+8\)
Ta xét các khả năng sau:
Nếu \(x_1\le-1< 2\le x_2\) thì hàm số nghịch biến trên đoạn [-1;2] do đó \(minf\left(x\right)=f\left(2\right)=24m+12=24\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)(loại vì \(\Delta>0\))
Nếu \(-1\le x_1< x_2\le2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'\left(-1\right)\ge0\\y'\left(2\right)\ge0\\-1< \frac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le m< 3\) , ta có: \(f\left(-1\right)=-21m+3\le\frac{21}{2}+3< 24\) nên hàm số không thể đạt GTNN tại x=-1, suy ra
\(minf\left(x\right)=f\left(x_2\right)=\left(-m^2+10m-1\right)x_2+3m^2+3m+8=24\)
với \(x_2=\frac{1}{2}\left(\sqrt{m^2-10m+1}+m+1\right)\)
Phương trình trên vô nghiệm với \(-\frac{1}{2}\le m< 3\)
Nếu \(-1\le x_1< 2\le x_2\) hoặc \(x_1\le-1\le x_2< 2\) \(\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}\)
Thay \(m=\frac{-1}{2}\) vào \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra minf(x)=\(f\left(\frac{3}{2}\right)=8-\frac{135}{4}m=8-\frac{135}{4}.\frac{-1}{2}=\frac{199}{8}\ne24\)
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
