Question

Cho hai số dương x y, thỏa mãn \(x^3+y^3=3xy-1\)

Tính \(A=x^{2018}+y^{2019}\)

Answer 1

vượt trước chương trình tí, mình dùng cosi nhé bạn

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

ta có \(\dfrac{x^3+y^3+1}{3}\ge\sqrt[3]{x^3.y^3.1}=xy\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge3xy-1\)

dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

\(\Rightarrow2x^3=3x^2-1\)

\(\Leftrightarrow2x^3-3x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow2x^3-2x^2-x^2+x-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2-x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2-2x+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\Leftrightarrow A=2\)

Với \(x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{2^{2018}}-\dfrac{1}{2^{2019}}=\dfrac{1}{2^{2019}}\)