Question

Cho các số dương x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = \(\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2\)+ \(\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

Answer 1

Khai triển :

\(P=4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+8\)

Vì x,y dương

(+) AM-GM : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+1\ge4x\\4y^2+1\ge4y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2+4y^2+2\ge4\left(x+y\right)=4\)

(+) AM-GM :\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+4\ge\dfrac{4}{x}\\\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{4}{y}\end{matrix}\right.\)

(+) Hệ quả AM-GM :\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}\ge\dfrac{16}{x+y}=16\)

\(\Rightarrow4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+10\ge16+4\)

\(\Rightarrow P+2\ge20\)

\(\Rightarrow P\ge18\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy Min_P=18 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

Có một cách khác đó là biến đổi và dùng cô si trực tiếp vào cái biểu thức trong ngoặc rồi dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel cho hai số (hơi phức tạp tí nhưng chắc không sao) -_-":

\(2x+\frac{1}{x}=4x+\frac{1}{x}-2x\ge2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}-2x=4-2x\)

Từ đó suy ra \(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2\ge\left(4-2x\right)^2\).Tương tự: \(\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\left(4-2y\right)^2\)

Cộng theo vế suy ra \(P\ge\left(4-2x\right)^2+\left(4-2y\right)^2\ge\frac{\left(4-2x+4-2y\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left[8-2\left(x+y\right)\right]^2}{2}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = ¹/₂

Vậy...