Cho góc tù xOy lấy điểm A thuộc tia Ox lấy điểm B thuộc tia Oy sao cho OA=OB. Đường vuông góc với OA tại A và đường vuông góc với OB tại B cắt nhau ở C. Gọi D là giao điểm của tia CB và tia đối của tia Ox, gọi E là giao điểm của tia CA và tia đối của tia Oy. CMR:
a, O là tia phân giác của góc xOy?
b, Tam giác ODE là tam giác cân?
c, CO vuông góc với DE?
a) Xét \(\Delta OAC,\Delta OBC\) có :
\(OC:Chung\)
\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}\left(=90^o\right)\)
\(OA=OB\left(gt\right)\)
=> \(\Delta OAC=\Delta OBC\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\) (2 góc tương ứng)
=> OC là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)
b) Xét \(\Delta CAD,\Delta CBE\) có :
\(\widehat{CAD}=\widehat{CBE}\left(=90^o\right)\)
\(AB=AC\) (\(\Delta OAC=\Delta OBC\))
\(\widehat{C}:chung\)
=> \(\Delta CAD=\Delta CBE\left(g.c.g\right)\)
=> \(EC=DC\) (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta CED\) cân tại C.
Xét \(\Delta AED,\Delta BDE\) có :
\(\widehat{EAD}=\widehat{DBE}\left(=90^o\right)\)
\(ED:chung\)
\(\widehat{AED}=\widehat{BDE}\) (do \(\Delta CED\) cân tại C)
=> \(\Delta AED=\Delta BDE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(\widehat{ADE}=\widehat{BED}\) (2 góc tương ứng)
Hay : \(\widehat{OED}=\widehat{ODE}\)
=> \(\Delta ODE\) cân tại O.
c) Gọi : \(OC\cap ED=\left\{H\right\}\)
Xét \(\Delta CEH,\Delta CDH\) có :
\(\widehat{ECH}=\widehat{DCH}\) (OC là tia phân giác của góc xOy)
\(CE=CD\) (do \(\Delta CED\) cân tại C)
\(\widehat{CEH}=\widehat{CDH}\) (do \(\Delta CED\) cân tại C)
=> \(\Delta CEH=\Delta CDH\left(g.c.g\right)\)
=> \(\widehat{CHE}=\widehat{CHD}\) (2 góc tương ứng)
Mà : \(\widehat{CHE}+\widehat{CHD}=180^o\left(Kềbù\right)\)
=> \(\widehat{CHE}=\widehat{CHD}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
=> \(CO\perp DE\rightarrowđpcm\)
