Cho đường tròn và A cách một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B là tiếp điểm )
a) Tính số đo các góc của tam giác OAB
b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. CM : C nằm trên đường tròn (O) và AC là tiếp tuyến của (O)
c) AO cắt đường tròn (O) tại G. CM : G là trọng tâm của tam giác ABC
a) Vì tam giác OBA vuông tại B nên góc OBA = 90 độ
=> Góc O + Góc A = 90 độ
Mà góc O là góc ở tâm và góc A là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung
=> Góc O = 2.góc A
Do đó: 2.Góc A + Góc A = 90 độ => 3.Góc A = 90 độ
=> Góc A = 30 độ => Góc O = 60 độ
b) Vì C đối xứng với B qua OA nên OA là đường trung trực của BC
=> Tam giác OBC cân tại O
=> OB = OC => C nằm trên đường tròn (O)
Vì OA là đường trung trực của BC nên AB = AC
Xét tam giác OBA và tam giác OCA
Có: OB = OC (cmt)
AB = AC (cmt)
OA chung
=> Tam giác OBA và OCA bằng nhau ( c-c-c )
=> Góc OBA = Góc OCA = 90 độ
Do đó: AC vuông góc với OC
=> AC là tiếp tuyến của (O)
c) Gọi H là giao điểm của BG và AC
Ta có: Góc CBG = Góc CAG ( cùng phụ với góc BCG )
Góc BGO = Góc GAH ( đối đỉnh )
=> Góc CBG + Góc BGO = Góc CAG + Góc GAH
=> Góc GHA = 90 độ
=> BG vuông góc với AC
Lại có: OA là đường phân giác của BAC ( Do hai tiếp tuyến AB,AC cắt nhau ở C )
=> Góc BAC = 2.Góc BAO = 2.30 độ = 60 độ
Mà tam giác ABC cân, do đó tam giác ABC đều
Xét tam giác ABC đều có BG vuông góc với AC
=> BG đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC
Lại có: OA là đường trung tuyến của BC
=> Đpcm
