Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O,R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a. Cm: OH.OM không đổi
b. Cm: Bốn điểm M,A,I,O cùng thuộc 1 đường tròn
c. Gọi K là giao điểm của OI với HK.
Cm: KC là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
a) Ta có: \(\Delta OHA\sim\Delta OAM\left(g.g\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{OH}{OA}=\frac{OA}{OM}\Leftrightarrow OA^2=OH.OM=R^2\)
b) Ta có: \(\Delta OAM\) vuông tại A
\(\Delta OIM\) vuông tại I.
=> OM là cạnh huyền chung của hai tam giác trên
=> \(\widehat{OIM};\widehat{OAM}\) cùng chắn OM
Vậy O, I, A, M cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
c) Ta có: \(\Delta OMI\sim\Delta OKH\left(g.g\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{OI}{OH}=\frac{OM}{OK}\Leftrightarrow OI.OK=OH.OM=R^2=OC^2\)\(\Rightarrow\frac{OC}{OK}=\frac{OI}{OC}\)
Xét \(\Delta OCKvà\Delta OIC\)
\(\frac{OC}{OK}=\frac{OI}{OC}\)
\(\widehat{O}:chung\)
\(\Rightarrow\Delta OCK\sim\Delta OIC\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{OCK}=\widehat{OIC}=90^o\\ \Rightarrow OC\perp OK\)
=> KC là tiếp tuyến đường tròn (O; R)
