Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=3R. Vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Vẽ dây cung BC vuông góc với OA tại H a) Chứng minh: H là trung điểm BC b) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Kẻ đường kính CD của (O), AD cắt đường tròn (O) tại M (M khác D). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB,AC lần lượt lại P và Q. Tính chu vi của tam giác APQ theo R d) Gọi K là giao điểm của PQ với tiếp tuyến tại D của đường tròn (O). Chứng minh: K,B,C thẳng hàng
Hình vẽ:
a, Vì \(OB=OC\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại \(O\)
Mà \(OA\perp BC\Rightarrow HB=HC\).
b, Vì \(OA\) là đường trung trực của \(BC\)
\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta OBA=\Delta OCA\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OBA}=90^o\Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\).
c, Chu vi \(\Delta APQ\):
\(P=AP+AQ+PQ\)
\(=AP+AQ+PM+QM\)
\(=AP+AQ+PB+QC=AB+AC\)
Ta có \(AB+AC=2AB=2\sqrt{OA^2-OB^2}=2\sqrt{9R^2-R^2}=2\sqrt{2}.R\)
\(\Rightarrow P=2\sqrt{2}.R\)
