Question

Cho đường tròn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) sao cho AB=R

a. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính độ dài BC theo R.

b. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Trên (O) lấy điểm D sao cho MD=MA (D khác A). Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O).

c. Vẽ đường kính AK của (O), MK cắt (O) tại E (E khác K). Gọi H là giao điểm của AD và MO. Chứng minh ME.MK=MH.MO

d. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEH theo R.

Answer 1

$a)$Ta có: $\widehat{BAC}={{90}^{0}}$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

\[AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2R \right)}^{2}}-{{R}^{2}}}=R\sqrt{3}\]

$b)$Xét $\Delta OAM$và $\Delta ODM$có:

\(\begin{align} & OA=R=OD \\ & OM:chung \\ & MA=MD\left( gt \right) \\ \end{align}\)

$\Rightarrow \Delta OAM=\Delta ODM\left( c-c-c \right)$

$\Rightarrow \widehat{ODM}={{90}^{0}}\Rightarrow OD\bot MD$$\Rightarrow MD$ là tiếp tuyến (O)

Answer 2

$c)$Xét $\Delta MED$và $\Delta MDK$có:
$\widehat{M}:chung$
$\widehat{{{D}_{1}}}=\dfrac{1}{2}sd\overset\frown{ED}=\widehat{{{K}_{1}}}$
$\Rightarrow \Delta MED\sim \Delta MDK\left( g-g \right)$
$\Rightarrow \dfrac{MD}{MK}=\dfrac{ME}{MD}\Rightarrow M{{D}^{2}}=ME.MK\left( 1 \right)$
Ta có:$OA=R=OB\left( gt \right);MA=MB$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$\Rightarrow MO$là đường trung trực $AB$
$\Rightarrow AH\bot MO\left( AB\cap MO=H \right)$
$\Rightarrow AH$là đường cao của tam giác vuông $MAO$
$\Rightarrow M{{A}^{2}}=MH.MD$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$,$\left( 2 \right)$ và $MA=MD$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow MK.ME=MH.MO$

Answer 3

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

vuông tại A. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

Xét và có:

là tiếp tuyến (O)

Xét và có:




Ta có:(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
là đường trung trực

là đường cao của tam giác vuông
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ , và (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)